Radián

Radián, en matemáticas, es la unidad de ángulo igual al ángulo central formado por un arco de longitud igual al radio del círculo. La medida en radianes (rad) de un ángulo se expresa como el cociente entre el arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo, y el radio de dicho círculo. Este cociente es constante para un ángulo fijo cualquiera que sea el círculo sobre el que se tome.

La medida en radianes de un ángulo y su medida en grados están relacionadas. La circunferencia de un círculo viene dada por C = 2pr donde r es el radio del círculo y pi es el número 3,14159. Dado que la circunferencia de un círculo es exactamente 2p radios, y que un arco de longitud r  tiene un ángulo central de un radián, se deduce que 2p radianes = 360 grados. 

Al dividir 360° por 2p se puede ver que un radián es aproximadamente 57° 17′ 45′′. En aplicaciones prácticas, las siguientes aproximaciones son lo suficientemente exactas: 1 radián = 57,3 grados 1 grado = 0,01745 radianes.

El grado y el radián son unidades angulares de distinto tamaño y son intercambiables. En ingeniería se utilizan más los grados, mientras que la medida en radianes se usa casi exclusivamente en estudios teóricos, como en el análisis matemático, debido a la mayor simplicidad de ciertos resultados, en especial para las derivadas y la expansión en series infinitas de las funciones trigonométricas. 

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.

Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² = b² + c²

Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir, c² = a · m, b² = a · n

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Triángulo

Triángulo (figura), polígono de tres lados. Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escalenos, si los tres lados son distintos.

La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene una ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.

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Tangente

Tangente, una de las razones trigonométricas (véase Trigonometría).

En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo α, que se designa por tg α, es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud del cateto adyacente.

La tangente de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica, y se sitúa sobre la recta tangente a dicha circunferencia en el punto en que ésta corta a la parte positiva del eje X:

La tangente no existe para los ángulos de 90º y 270º.

La función y = tg x describe la variación de la tangente de ángulos medidos en radianes. Es continua, salvo en los puntos de abscisa (p/2) + kp, k entero, en donde no está definida. Es periódica de periodo p:

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Coseno

Coseno, una de las razones trigonométricas.

En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo α, que se designa por cos α, es igual a la longitud del cateto adyacente al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

El coseno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la abscisa del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:

La función y = cos x describe la variación del coseno de ángulos medidos en radianes.

El teorema del coseno se aplica a los lados y ángulos de triángulos cualesquiera y relaciona los tres lados con uno de los ángulos:

a² = b² + c² – 2bc·cos A
b² = a² + c² – 2ac·cos B
c² = a² + b² – 2ab·cos C

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Seno en trigonometría

Seno una de las razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo α, que se designa por sen α, es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

El seno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la ordenada del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:

La función y = sen x describe la variación del seno de ángulos medidos en radianes. Es continua y periódica de periodo 2p. Se denomina función sinusoidal.

El teorema del seno se aplica a los lados y ángulos de un triángulo cualquiera y relaciona cada dos lados con sus ángulos opuestos:

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MEDIDA DE ÁNGULOS

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. La unidad de medida de ángulo más usual es el grado sexagesimal, que consiste en 1/360 del ángulo completo. La medida de un ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo º. Por ejemplo, un ángulo de 56º.

Un ángulo recto tiene 90º. Los ángulos agudos tienen menos de 90º y los obtusos más de 90º, pero menos de 180º.

Si la medida de un ángulo es α, su complementario será 90º - α, y su suplementario 180º - α.

El grado sexagesimal tiene submúltiplos: el minuto, 1/60 de grado, y el segundo, 1/60 de minuto, es decir, 1/3.600 de grado. El minuto se designa ′ y el segundo ′′. De tal modo que la medida de un ángulo en grados, minutos y segundos sería, por ejemplo, 84º 17′ 43′′.

Hay otras unidades de medida de ángulo, como el grado centesimal y el radián.

El grado centesimal es una centésima de ángulo recto. Sus submúltiplos son el minuto centesimal (una centésima de grado) y el segundo centesimal (una centésima de segundo). Un ángulo dado en grados, minutos y segundos centesimales se expresaría así: 96g 34m 85s. Estas unidades de medida están prácticamente en desuso.

El radián (rad) es un ángulo que abarca un arco cuya longitud es igual al radio con el que ha sido trazado. 

Su relación con el grado sexagesimal es la siguiente: 180º = p rad. Es decir, 1 rad equivale aproximadamente a 57º 17′ 45′′. Esta unidad de medida de ángulos se utiliza en matemáticas avanzadas.

En el ejército se utiliza la milésima artillera, que es 1/1.600 de ángulo recto y, aproximadamente, una milésima de radián.

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