Radián

Radián, en matemáticas, es la unidad de ángulo igual al ángulo central formado por un arco de longitud igual al radio del círculo. La medida en radianes (rad) de un ángulo se expresa como el cociente entre el arco formado por el ángulo, con su vértice en el centro de un círculo, y el radio de dicho círculo. Este cociente es constante para un ángulo fijo cualquiera que sea el círculo sobre el que se tome.

La medida en radianes de un ángulo y su medida en grados están relacionadas. La circunferencia de un círculo viene dada por C = 2pr donde r es el radio del círculo y pi es el número 3,14159. Dado que la circunferencia de un círculo es exactamente 2p radios, y que un arco de longitud r  tiene un ángulo central de un radián, se deduce que 2p radianes = 360 grados. 

Al dividir 360° por 2p se puede ver que un radián es aproximadamente 57° 17′ 45′′. En aplicaciones prácticas, las siguientes aproximaciones son lo suficientemente exactas: 1 radián = 57,3 grados 1 grado = 0,01745 radianes.

El grado y el radián son unidades angulares de distinto tamaño y son intercambiables. En ingeniería se utilizan más los grados, mientras que la medida en radianes se usa casi exclusivamente en estudios teóricos, como en el análisis matemático, debido a la mayor simplicidad de ciertos resultados, en especial para las derivadas y la expansión en series infinitas de las funciones trigonométricas. 

TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

Los triángulos rectángulos cumplen una serie de relaciones métricas importantes entre sus lados.

Los lados de un triángulo rectángulo que forman el ángulo recto, b y c, se llaman catetos y el tercer lado, a, (opuesto al ángulo recto) es la hipotenusa. El teorema de Pitágoras relaciona los dos catetos y la hipotenusa: en un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: a² = b² + c²

Otra relación importante que se cumple en un triángulo rectángulo es el teorema del cateto: el cuadrado de cada cateto es igual al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella, es decir, c² = a · m, b² = a · n

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos

Triángulo

Triángulo (figura), polígono de tres lados. Según la longitud de sus lados, los triángulos se clasifican en equiláteros, si sus tres lados son iguales, isósceles, si tienen dos lados iguales, y escalenos, si los tres lados son distintos.

La suma de los tres ángulos de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u obtuso. Si los tres ángulos son agudos el triángulo se llama acutángulo, si tiene una ángulo recto, rectángulo y obtusángulo si el mayor de sus ángulos es obtuso.

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos

Tangente

Tangente, una de las razones trigonométricas (véase Trigonometría).

En un triángulo rectángulo, la tangente de un ángulo agudo α, que se designa por tg α, es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud del cateto adyacente.

La tangente de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica, y se sitúa sobre la recta tangente a dicha circunferencia en el punto en que ésta corta a la parte positiva del eje X:

La tangente no existe para los ángulos de 90º y 270º.

La función y = tg x describe la variación de la tangente de ángulos medidos en radianes. Es continua, salvo en los puntos de abscisa (p/2) + kp, k entero, en donde no está definida. Es periódica de periodo p:

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos

Coseno

Coseno, una de las razones trigonométricas.

En un triángulo rectángulo, el coseno de un ángulo agudo α, que se designa por cos α, es igual a la longitud del cateto adyacente al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

El coseno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la abscisa del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:

La función y = cos x describe la variación del coseno de ángulos medidos en radianes.

El teorema del coseno se aplica a los lados y ángulos de triángulos cualesquiera y relaciona los tres lados con uno de los ángulos:

a² = b² + c² – 2bc·cos A
b² = a² + c² – 2ac·cos B
c² = a² + b² – 2ab·cos C

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos

Seno en trigonometría

Seno una de las razones trigonométricas

En un triángulo rectángulo, el seno de un ángulo agudo α, que se designa por sen α, es igual a la longitud del cateto opuesto al ángulo dividida por la longitud de la hipotenusa.

El seno de un ángulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniométrica. Es la ordenada del punto en que el segundo lado del ángulo la corta:

La función y = sen x describe la variación del seno de ángulos medidos en radianes. Es continua y periódica de periodo 2p. Se denomina función sinusoidal.

El teorema del seno se aplica a los lados y ángulos de un triángulo cualquiera y relaciona cada dos lados con sus ángulos opuestos:

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos

MEDIDA DE ÁNGULOS

Medir un ángulo es compararlo con otro que se toma como unidad. La unidad de medida de ángulo más usual es el grado sexagesimal, que consiste en 1/360 del ángulo completo. La medida de un ángulo en grados sexagesimales se designa mediante el símbolo º. Por ejemplo, un ángulo de 56º.

Un ángulo recto tiene 90º. Los ángulos agudos tienen menos de 90º y los obtusos más de 90º, pero menos de 180º.

Si la medida de un ángulo es α, su complementario será 90º - α, y su suplementario 180º - α.

El grado sexagesimal tiene submúltiplos: el minuto, 1/60 de grado, y el segundo, 1/60 de minuto, es decir, 1/3.600 de grado. El minuto se designa ′ y el segundo ′′. De tal modo que la medida de un ángulo en grados, minutos y segundos sería, por ejemplo, 84º 17′ 43′′.

Hay otras unidades de medida de ángulo, como el grado centesimal y el radián.

El grado centesimal es una centésima de ángulo recto. Sus submúltiplos son el minuto centesimal (una centésima de grado) y el segundo centesimal (una centésima de segundo). Un ángulo dado en grados, minutos y segundos centesimales se expresaría así: 96g 34m 85s. Estas unidades de medida están prácticamente en desuso.

El radián (rad) es un ángulo que abarca un arco cuya longitud es igual al radio con el que ha sido trazado. 

Su relación con el grado sexagesimal es la siguiente: 180º = p rad. Es decir, 1 rad equivale aproximadamente a 57º 17′ 45′′. Esta unidad de medida de ángulos se utiliza en matemáticas avanzadas.

En el ejército se utiliza la milésima artillera, que es 1/1.600 de ángulo recto y, aproximadamente, una milésima de radián.

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

Ángulo

Ángulo, porción de plano determinada por dos semirrectas con origen común.

Las semirrectas que lo forman se llaman lados del ángulo y el punto común, vértice. Lo que caracteriza a un ángulo es la apertura de sus lados. Si los lados de un ángulo α están más abiertos que los de otro β se dice que α es mayor que β.

Dos mismas semirrectas con origen común determinan dos ángulos distintos; el menor de ellos se llama ángulo convexo y el mayor, cóncavo:

El ángulo convexo no contiene en su interior a las semirrectas opuestas a sus lados, mientras que el ángulo cóncavo sí las contiene.

Si los dos lados del ángulo son semirrectas de la misma recta, el ángulo que forman se llama ángulo llano:

Se llama ángulo completo a aquel cuyos dos lados coinciden, y que está formado por todo el plano.

Los ángulos convexos son menores que un ángulo llano, mientras que los cóncavos son mayores que un llano.

Un ángulo recto es el ángulo convexo que tiene sus lados perpendiculares. Los ángulos convexos mayores que uno recto se llaman obtusos y los menores, agudos.

Dos ángulos se llaman consecutivos si tienen un lado y el vértice común y están en distintos semiplanos. En la figura, los ángulos aVb y bVc son consecutivos:

Transportar un ángulo es dibujar otro con la misma apertura que el primero y en el lugar que se desee. Para ello se puede utilizar el transportador de ángulos, que es una plantilla graduada con la que se pueden medir ángulos. También se puede transportar un ángulo aVb a otro lugar del plano con vértice V’ y lado a’ del siguiente modo:

Se abre el compás con un cierto radio y se trazan sendos arcos con centros en V y en V’. El primero determina dos puntos A y B en los lados de aVb. La distancia d, entre A y B, se lleva con el compás al segundo arco, determinando así el punto B’ por el que pasa el segundo lado b’ del ángulo a’V’b’.

Dos ángulos son iguales si al superponerlos (es decir, al transportar uno sobre otro) coinciden.

Para sumar dos ángulos se transporta uno de ellos situándolo consecutivo al otro. El ángulo formado por los lados exteriores es el ángulo suma:

Dos ángulos convexos se llaman opuestos por el vértice si sus lados son semirrectas opuestas:

Dos ángulos consecutivos cuyos lados exteriores son semirrectas opuestas se llaman adyacentes:

Al cortar dos rectas paralelas, r y s, por otra recta t se forman ocho ángulos entre los cuales se dan las siguientes relaciones de igualdad:

• Opuestos por el vértice:

• Correspondientes:

• Alternos internos:

• Alternos externos:

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

Hiparco de Nicea

Hiparco de Nicea (c. 190-120 a.C.), astrónomo griego, el más importante de su época. 

Hiparco nació en Nicea, Bitinia (hoy İznik, Turquía). Fue extremadamente preciso en sus investigaciones, de las que conocemos parte por comentarse en el tratado científico Almagesto del astrónomo alejandrino Tolomeo, sobre quien ejerció gran influencia. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precesión de los equinoccios (véase Eclíptica). 

Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. Hiparco inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes. Catalogó, hizo gráficos y calculó el brillo de unas mil estrellas. También recopiló una tabla de cuerdas trigonométricas que fueron la base de la trigonometría moderna.

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

HISTORIA

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos. Sin embargo, hasta los tiempos de la Grecia clásica no empezó a haber trigonometría en las matemáticas. En el siglo II a.C. el astrónomo Hiparco de Nicea compiló una tabla trigonométrica para resolver triángulos. Comenzando con un ángulo de 7y° y yendo hasta 180° con incrementos de 7y°, la tabla daba la longitud de la cuerda delimitada por los lados del ángulo central dado que corta a una circunferencia de radio r. Esta tabla es similar a la moderna tabla del seno. No se sabe con certeza el valor de r utilizado por Hiparco, pero sí se sabe que 300 años más tarde el astrónomo Tolomeo utilizó r = 60, pues los griegos adoptaron el sistema numérico sexagesimal (base 60) de los babilonios.

Tolomeo incorporó en su gran libro de astronomía el Almagesto, una tabla de cuerdas con incrementos angulares de y°, desde 0° hasta 180°, con un error menor que 1/3.600 de unidad. También explicó su método para compilar esta tabla de cuerdas, y a lo largo del libro dio bastantes ejemplos de cómo utilizar la tabla para calcular los elementos desconocidos de un triángulo a partir de los conocidos. Tolomeo fue el autor del que hoy se conoce como teorema de Menelao para resolver triángulos esféricos, y durante muchos siglos su trigonometría fue la introducción básica para los astrónomos. Quizás al mismo tiempo que Tolomeo, los astrónomos de la India habían desarrollado también un sistema trigonométrico basado en la función seno en vez de cuerdas como los griegos. Esta función seno, al contrario que el seno utilizado en la actualidad, no era una proporción, sino la longitud del lado opuesto a un ángulo en un triángulo rectángulo de hipotenusa dada. Los matemáticos indios utilizaron diversos valores para ésta en sus tablas.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, y prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que dio lugar a los valores modernos de las funciones trigonométricas. Los árabes también incorporaron el triángulo polar en los triángulos esféricos. Todos estos descubrimientos se aplicaron a la astronomía y también se utilizaron para medir el tiempo astronómico y para encontrar la dirección de la Meca, lo que era necesario para las cinco oraciones diarias requeridas por la ley islámica. Los científicos árabes también compilaron tablas de gran exactitud. Por ejemplo, las tablas del seno y de la tangente, construidas con intervalos de 1/60 de grado (1 minuto) tenían un error menor que 1 dividido por 700 millones. Además, el gran astrónomo Nasir al-Dìn al-Tusì escribió el Libro de la figura transversal, el primer estudio de las trigonometrías plana y esférica como ciencias matemáticas independientes.

El occidente latino se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés François Viète incorporó el triángulo polar en la trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sen nθ y cos nθ, en función de potencias de sen θ y cos θ.

Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Napier, quien inventó los logaritmos a principios del siglo XVII. También encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Napier) para resolver triángulos esféricos oblicuos.

Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Napier, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.

Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos.

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

TRIGONOMETRÍA ESFÉRICA

La trigonometría esférica, que se usa sobre todo en navegación y astronomía, estudia triángulos esféricos, es decir, figuras formadas por arcos de circunferencias máximas contenidos en la superficie de una esfera. El triángulo esférico, al igual que el triángulo plano, tiene seis elementos: los tres lados a, b, c, y los tres ángulos A, B y C. Sin embargo, los lados de un triángulo esférico son magnitudes angulares en vez de lineales, y dado que son arcos de circunferencias máximas de una esfera, su medida viene dada por el ángulo central correspondiente. Un triángulo esférico queda definido dando tres elementos cualesquiera de los seis, pues, al igual que en la geometría plana, hay fórmulas que relacionan las distintas partes de un triángulo, que se pueden utilizar para calcular los elementos desconocidos.

Por ejemplo, el teorema del seno adopta la siguiente forma para triángulos esféricos:

La trigonometría esférica es de gran importancia para la teoría de la proyección estereográfica y en geodesia. Es también el fundamento de los cálculos astronómicos. Por ejemplo, la solución del llamado triángulo astronómico se utiliza para encontrar la latitud y longitud de un punto, la hora del día, la posición de una estrella y otras magnitudes.

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

Funciones inversas

La expresión “y es el seno de θ” o y = sen θ, es equivalente a la expresión “θ es el ángulo cuyo seno es igual a y”, lo que se expresa como θ = arcsen y, o también como θ = sen^-1y. La función arcsen (que se lee arco seno) es la función inversa o recíproca de la función sen. Las otras funciones inversas, arccos y, arctg y, arccot y, arcsec y, y arccosec y, se definen del mismo modo. En la expresión y = sen θ o θ = arcsen y, un valor dado de y genera un número infinito de valores de θ, puesto que sen p/6 = sen 5p/6 = sen ((p/6) + 2p) =…= y, teniendo en cuenta que los ángulos p/6 y 5p/6 son suplementarios. Por tanto, si θ = arcsen y, entonces θ = (p/6) + n 2p y θ = (5p/6) + n 2p, para cualquier entero n positivo, negativo o nulo. El valor p/6 se toma como valor principal o fundamental del arcsen y. Para todas las funciones inversas, se suele dar su valor principal. Existen distintas costumbres, pero la más común es que los valores principales de las funciones inversas estén en los intervalos que se dan a continuación:

-p/2 ≤ arcsen y ≤ p/2
0 ≤ arccos y ≤ p
-p/2 < arctg y < p/2
0 < arccosec y < p
-p/2 < arcsec y < p/2
0 < arccot y < p

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas se obtienen a partir de las razones trigonométricas de la forma siguiente:

El ángulo se expresa en radianes. Por tanto, los 360º de una circunferencia pasan a ser 2p radianes.



Se considera que cualquier número real puede ser la medida de un ángulo. Sus razones trigonométricas se relacionan con las razones de los ángulos comprendidos en el intervalo [0, 2p) del siguiente modo: si x - x’ = k · 2p, k número entero, entonces sen x = sen x’, cos x = cos x’, tg x = tg x’. Es decir, si dos números difieren en un número entero de veces 2p, entonces tienen las mismas razones trigonométricas.

De este modo se obtienen las funciones trigonométricas y = sen x, y = cos x, y = tg x, llamadas también funciones circulares. Sus representaciones gráficas son:

Las otras funciones trigonométricas, y = cosec x, y = sec x, y = cot x, por la relación que tienen con las tres anteriores, se representan con ellas en las figuras siguientes:

Todas las funciones trigonométricas son periódicas: sen, cos, sec y cosec tienen periodo 2p, mientras que tg y cot tienen periodo p.

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

Resolución de triángulos

Las razones trigonométricas de ángulos agudos sirven para resolver triángulos rectángulos, es decir, para averiguar uno de sus elementos desconocidos a partir de algunos otros conocidos.

Por ejemplo, si se conoce la hipotenusa, h, y un ángulo α, se puede calcular el cateto opuesto, c, a ese ángulo, mediante el seno, puesto que al ser sen α = c/h se obtiene que c = h sen α.

Los teoremas del seno y del coseno permiten resolver triángulos oblicuángulos. Por ejemplo, si se quiere conocer el lado c de un triángulo del que se conocen los otros dos lados a y b, y el ángulo, C, opuesto al lado desconocido, el teorema del coseno permite calcularlo: c² = a² + b² – 2ab·cos C

O bien, si se conocen un lado, a, y los ángulos de un triángulo, se puede hallar otro lado, b, mediante el teorema del seno:

De aquí, despejando b se obtiene:

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.

Relaciones entre las razones trigonométricas de algunos ángulos

Si dos ángulos son complementarios (suman 90º) sus razones trigonométricas están relacionadas. También lo están las de los ángulos suplementarios (los que suman 180º) y las de los opuestos (los que suman 360º). A continuación se dan las relaciones fundamentales entre ellas.

• Ángulos complementarios, α y 90º - α:

• sen (90º - α) = cos α
• cos (90º - α) = sen α
• tg (90º - α) = cos α/sen α = 1/tg α
• Ángulos suplementarios, α y 180º - α:

• sen (180º - α) = sen α
• cos (180º - α) = -cos α
• tg (180º - α) = -tg α
• Ángulos opuestos, α y -α:

• sen (-α) = -sen α
• cos (-α) = cos α
• tg (-α) = -tg α
• Ángulos que difieren en 180º, α y α + 180º:

• sen (α + 180º) = -sen α
• cos (α + 180º) = -cos α
• tg (α + 180º) = tg α

Fuentes consultadas:

Enciclopedia Encarta

Microsoft ® Encarta ® 2009. © 1993-2008 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.